Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,

$u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.$

• 1. Calculer $u_1$.

• 2. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par :

  $f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.$

  Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

  • a) Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

    En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.

  • b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n > 2$.

• 3. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :

  $u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.$

  • a) Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

  • b) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

• 4. On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par:

  $v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.$

  • a) Calculer $v_0$.

  • b) Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.

  • c) Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.

    En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.

• 1. On considère la fonction Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

  Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

def&seuil (A) :
&n = 0
&u = 8
&while u > A :
&     u = (6*u + 2)/(u + 5)
&     n = n + 1
&return n