Exercice 3 — Suites et récurrence, Limites de suites

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

Partie A : Première modélisation

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

• 90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
• 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n$-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_1 =3$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\:u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3$.

• 1. Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.

• 2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

  $u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n.$

• 1. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

• 2. On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.

  Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

def seuil(p) :
     n=1
     u=3
     while u<=p :
           n=n+1
          u=0.9*u+1.3
     return n

Partie B : Une autre modélisation

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par:

$v_n = 9 - 6 \times \text{e}^{-0,19\times(n - 1)}.$

Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ.

• 1. Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.
• 2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8,5$.

Partie C : Comparaison des deux modèles

• 1. L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.

  Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?

  Justifier votre réponse.

• 2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme?