Exercice 4 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1.

On appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.

• 2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

• 3. Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

• 4.

  • a) Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est :

    $x + y - z - 1 = 0.$

  • b) Montrer que le point I a pour coordonnées $\left(\dfrac23 ; \dfrac23 ; \dfrac13\right)$.

  • c) En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.

• 5.

  • a) Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.

  • b) Calculer l'aire du triangle BDG.

    On pourra utiliser le point J, milieu du segment [BD].

• 6. Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à $\dfrac13$.

  On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13 Bh$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.