Exercice 2 — Limites de fonctions, Continuité et TVI

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par

$f(x) = x^2 - 8\ln (x)$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.

• 1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.

• 2. On admet que, pour tout $x > 0$,: $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)$.

  En déduire la limite: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

• 3. Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0 ; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.

• 4. Étudier les variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.

  On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.

• 5. Démontrer que, sur l'intervalle ]0 ; 2], l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).

• 6. On admet que, sur l'intervalle $[2 ;  +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).

  En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

• 7. Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par:

  $g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k.$

  En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.