Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Commun à tous les candidats

Une entreprise reçoit quotidiennement de nombreux courriels (courriers électroniques).

Parmi ces courriels, 8 % sont du « spam », c'est-à-dire des courriers à intention publicitaire, voire malveillante, qu'il est souhaitable de ne pas ouvrir.

On choisit au hasard un courriel reçu par l'entreprise.

Les propriétés du logiciel de messagerie utilisé dans l'entreprise permettent d'affirmer que :

• La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que c'est un spam est égale à $0,9$.

• La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que ce n'est pas un spam est égale à $0,01$. On note :

• $S$ l'évènement « le courriel choisi est un spam » ;

• $I$ l'évènement « le courriel choisi est classé comme indésirable par le logiciel de messagerie ».

• $\overline{S}$ et $\overline{I}$ les évènements contraires de $S$ et $I$ respectivement.

• 1. Modéliser la situation étudiée par un arbre pondéré, sur lequel on fera apparaître les probabilités associées à chaque branche.

• 2.

  • a) Démontrer que la probabilité que le courriel choisi soit un message de spam et qu'il soit classé indésirable est égale à $0,072$.

  • b) Calculer la probabilité que le message choisi soit classé indésirable.

  • c) Le message choisi est classé comme indésirable. Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un message de spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.

• 3. On choisit au hasard $50$ courriels parmi ceux reçus par l'entreprise. On admet que ce choix se ramène à un tirage au hasard avec remise de $50$ courriels parmi l'ensemble des courriels reçus par l'entreprise.

  On appelle $Z$ la variable aléatoire dénombrant les courriels de spam parmi les $50$ choisis.

  • a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Z$, et quels sont ses paramètres ?

  • b) Quelle est la probabilité que, parmi les 50 courriels choisis, deux au moins soient du spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.