Exercice 3 — Fonction exponentielle, Dérivation

Commun à tous les candidats

Partie I

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = x - \text{e}^{-2x}.$

On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$.

• 1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
• 2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation.
• 3. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
• 4. Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.

Partie II

Dans le repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$, on appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$g(x) = \text{e}^{-x}.$

La courbes $\mathcal{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathcal{C}$ le plus proche de l'origine O du repère et d'étudier la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.

• 1. Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t ; \text{e}^{-t}\right)$ de la courbe $\mathcal{C}$.

  On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance O$M$.

  On a donc: $h(t) = \text{O}M$, c'est-à-dire :

  $h(t) = \sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}$

  • a) Montrer que, pour tout nombre réel $t$,

    $h'(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}.$

    où $f$ désigne la fonction étudiée dans la Partie I.

  • b) Démontrer que le point A de coordonnées $\left(\alpha ; \text{e}^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la longueur O$M$ est minimale.

    Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

• 2. On appelle $T$ la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$.

  • a) Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$.

    On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à $\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha}$.

    On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration:

    Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D'$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm'$ est égal à $-1$.

  • b) Démontrer que la droite (OA) et la tangente $T$ sont perpendiculaires.

    Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

EXERCICE au choix du candidat 5 points

**Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

[5pt] Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

[5pt]Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.**