Bac Maths 2021 — Métropole septembre — Jour 2

Exercice 4 — Suites et récurrence, Limites de suites

2021 · Métropole · Terminale · Spé Maths

Code épreuve : 21-MATJ2ME3

Term. Spé Maths — Analyse (Suites)Suites et récurrence Limites de suites

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Exercice 4 — Bac Maths 2021 — Métropole septembre — Jour 2 — Énoncé

Énoncé de l'exercice 4 — Bac Maths 2021 Métropole

(Tableau : voir le sujet PDF.)

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par:

$u_0 = 16 \quad ;\quad v_0 = 5 \;;$

et pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1}&=&\dfrac{3u_n + 2v_n}{5} \\ v_{n+1}&=& \dfrac{u_n + v_n}{2} \end{array}\right.$$ - **1.** Calculer $u_1$ et $v_1$. - **2.** On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_n - v_n$. - **a)** Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 0,1. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $w_n$ en fonction de $n$. - **b)** Préciser le signe de la suite $\left(w_n\right)$ et la limite de cette suite. - **3.** - **a)** Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = - 0,4 w_n$. - **b)** En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu'on a alors: pour tout entier naturel $n$,\, $v_n \geqslant v_0 = 5$. - **a)** Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant 5$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$. On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. On admet ce résultat, et on appelle $\ell'$ la limite de $\left(v_n\right)$. - **1.** - **a)** Démontrer que $\ell = \ell'$. - **b)** On considère la suite $\left(c_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $c_n = 5u_n + 4v_n$. Démontrer que la suite $\left(c_n\right)$ est constante, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = c_n$. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ ,\, $c_n = 100$. - **c)** Déterminer la valeur commune des limites $\ell$ et $\ell'$.

À propos de l'exercice 4 du Bac Maths 2021 — Métropole

Exercice 4 de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat 2021, session Métropole — Spé Maths. Il porte sur : Suites et récurrence, Limites de suites. L'énoncé et la correction détaillée sont disponibles gratuitement ci-dessus.

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