Exercice 3 — Étude complète de fonction, Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\text{e}^{-x}}$

On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Montrer que le point A de coordonnées $(\ln 5 ; 3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.

• 2. Montrer que la droite d'équation $y = 6$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.

• 3.

  • a) On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a :

    $f'(x) = \dfrac{30\text{e}^{-x}}{\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)^2}.$

  • b) En déduire le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.

• 4. On admet que :

• 5. $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, on note $f''$ sa dérivée seconde ;

• 6. pour tout réel $x$,

  $f''(x) = \dfrac{30\text{e}^{-x}\left(5\text{e}^{-x} - 1\right)}{\left(1 + 5\text{e}^{-x}\right)^3}.$

  • a) Étudier la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$. On montrera en particulier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion.

  • b) Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty ; \ln 5]$, on a: $f(x)\geqslant \dfrac56 x + 1$.

• 7. On considère une fonction $F_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F_k(x) = k \ln \left(\text{e}^x + 5\right)$, où $k$ est une constante réelle.

  • a) Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

  • b) En déduire que l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 5$ est égale à $6\ln \left(\dfrac53\right)$.

Partie B

L'objectif de cette partie est d'étudier l'équation différentielle suivante :

$(E) y' = y - \dfrac16 y^2.$

On rappelle qu'une solution de l'équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x$ réel, on a :

$u'(x) = u(x) - \dfrac16[u(x)]^2.$

• 1. Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

• 2. Résoudre l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac16$.

• 3. On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ qui ne s'annule pas.

  On note $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$.

  On admet que $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, On note $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.

  • a) Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y' = - y + \dfrac16$, alors $g$ est solution de l'équation différentielle $y' = y - \dfrac16 y^2$.

  • b) Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

    $g_m(x) = \dfrac{6}{1 + 6m\text{e}^{-x}}.$

    Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $(E) : \quad y'= y - \dfrac16 y^2$.