Exercice 4 — Dérivation, Primitives

** Partie A**

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal.

On note $f'$ sa fonction dérivée.

• la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 1;

• la tangente $T_{\mathrm{A}}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A$\left(\dfrac{1}{2} ; 0 \right)$ passe par le point B$\left(1 ; \text{e}^{2}\right)$.

• 1. À l'aide du graphique ci-contre :

  • a) Donner $f'(1)$.

  • b) Donner la solution de l'équation $f(x)=0$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.

• 2. Déterminer $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Parmi les trois courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction $f$.

  Indiquer lesquelles et justifier.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

** Partie B**

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1).

La dimension de 0,3 cm indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction $f$ vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle $[0,5 ; \alpha]$.

Le nombre $\alpha$ est un réel supérieur à 1 que l'on déterminera dans cette partie.

L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d'unité 1 cm.

(Figure : voir le sujet PDF.)

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ par :

$f(x)=(2 x-1) \text{e}^{-2 x+3}.$

• 1.

  • a) Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ;+\infty[$ :

    $f(x)=\text{e}^{2} \times \dfrac{2 x-1}{\text{e}^{2 x-1}}.$

  • b) En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

    (On pourra poser $X = 2x-1)$.

• 2.

  • a) Montrer que,

    pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ; +\infty[$,

    $f'(x)=(-4 x+4) \text{e}^{-2 x+3}.$

  • b) Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$.

• 3. Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité $f(\alpha)=0,15$.

  Montrer qu'il existe une unique valeur de $\alpha$ dans l'intervalle $[1 ;+\infty[$ qui permette de vérifier cette égalité.

  En donner une valeur arrondie au dixième.

(Figure : voir le sujet PDF.)

** Partie C**

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B.

On précise que cette plaque a une épaisseur de $0,2\,\text{cm}$.

• 1. On considère :

  $I=\int_{0,5}^{3,3} f(x) \,\mathrm{d} x$

  À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale $I$ arrondie au dixième est égale à 3,6.

• 2. On précise que le volume du porte-clé est égal à :

  Aire du logo $\times$ épaisseur de la plaque

  Déterminer le volume du porte-clé en $\mathrm{cm}^{3}$, arrondi au dixième.