Exercice 1 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CG].

Le point N est le milieu du segment [IJ].

L'objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre HFIJ.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1.

  • a) Donner les coordonnées des points I et J.

    En déduire les coordonnées de N.

  • b) Justifier que les vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{NF}}$ ont pour coordonnées respectives:

    1 0,5\end{pmatrix} \,\text{et} \, \overrightarrow{\text{NF}}\begin{pmatrix}0,25 -0,5 0,75\end{pmatrix}$$

  • c) Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{I\,J}}$ et $\overrightarrow{\text{NF}}$ sont orthogonaux.

    On admet que NF $= \dfrac{\sqrt{14}}{4}$.

  • d) En déduire que l'aire du triangle FIJ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$.

• 2. On considère le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4

  -1

  -2 \end{pmatrix}$.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est normal au plan (FIJ).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est: $4x - y - 2z - 2 = 0$.

  • c) On note $d$ la droite orthogonale au plan (FIJ) passant par le point H. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

  • d) Montrer que la distance du point H au plan (FIJ) est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$.

  • e) On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par la formule

    $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.

    Calculer le volume du tétraèdre HFIJ. On donnera la réponse sous la forme d'une fraction irréductible.