Exercice 4 — Dérivation, Équations différentielles

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g’$.

On précise également que :

• La courbe $\mathcal{C}_{1}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0 ; 1)$.
• La courbe $\mathcal{C}_{2}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0 ; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2 ; 0)$ et $(1 ; 0)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique.

• 2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y=2x + 1$.

Partie B

On considère $(E)$ l'équation différentielle

$y+y’=(2x + 3) \text{e}^{-x},$

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.

• 1. Montrer que la fonction $f_{0}$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_{0}(x)=\left(x^{2}+3 x\right) \text{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

• 2. Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right): y+ y'= 0$.

• 3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

• 4. On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

  Déterminer alors l'expression de la fonction $g$.

• 5. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par :

$f(x)=\left(x^{2}+3 x+2\right) \text{e}^{-x}$

• 1. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0.

  On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$.

• 2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.

  • a) Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f’(x)=\left(-x^{2}-x+1\right) \text{e}^{-x}$.

  • b) Déterminer le signe de la fonction dérivée $f’$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

• 3. Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0;+\infty[$.

• 4. On notera $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$. On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x)=\left(-x^{2}-5 x-7\right) \text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.

  Soit $\alpha$ un nombre réel positif.

  Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\alpha$.