ÉTUDE COMPLÈTE DE FONCTION

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Fonctions)

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est le chapitre-synthèse de l'analyse. Il ne contient pas de nouvelle théorie : il articule dans un même exercice tous les outils vus dans les chapitres précédents (dérivation, limites, continuité, TVI, exponentielle, logarithme, convexité). C'est l'exercice-type le plus fréquent au bac spécialité maths : présent dans quasiment tous les sujets, souvent noté 6 à 9 points sur 20.

Prérequis indispensables :

• Dérivation et convexité (dérivées, tableau de variations, tangentes, convexité)
• Limites de fonctions (limites aux bornes, croissance comparée, asymptotes)
• Continuité et TVI (existence et unicité d'une solution à $f(x) = k$)
• Fonction exponentielle et Logarithme népérien (fonctions apparaissant dans les études)

Chapitre débouchant sur : Suites définies par une fonction (préambule = étude de $f$), Calcul intégral (calcul d'aire sous la courbe).

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1. Notions clés

1.1 Qu'est-ce qu'une « étude complète » ?

Au bac, une étude complète de fonction consiste à répondre successivement (ou séparément) à ces questions :

1. Ensemble de définition de $f$.
2. Limites aux bornes de l'ensemble de définition (déduire les asymptotes).
3. Dérivabilité et calcul de $f'$.
4. Signe de $f'$ (souvent après factorisation).
5. Tableau de variations (avec limites et extrema).
6. Convexité (calcul de $f''$, signe, points d'inflexion).
7. Résolution éventuelle d'équations $f(x) = k$ (via TVI).
8. Tangente en un point donné, éventuellement position courbe/tangente.
9. Tracé de $\mathcal{C}_f$ (souvent avec asymptotes et tangentes clés).

1.2 Types de fonctions étudiées au bac

Trois grandes familles :

• Fonctions polynomiales ou rationnelles avec quelques termes en $\dfrac{1}{x^n}$ : plus rares en terminale.
• Fonctions du type $P(x)\,e^{g(x)}$ : le plus fréquent au bac (voir fiche Fonction exponentielle, M3).
• Fonctions faisant intervenir $\ln$ : type $x \ln x$, $\dfrac{\ln x}{x}$, $\ln(u(x))$ (voir fiche Logarithme népérien, M3).

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2. Formulaire — plan-type et rappels

T1 — Plan-type d'une étude complète

Étape	Ce qu'on cherche	Outil
1	Ensemble de définition	Conditions d'existence
2	Limites aux bornes	Limites, croissance comparée
3	Asymptotes	Limites finies (H) ou infinies (V)
4	Dérivée $f'$	Formules d'opérations, composées
5	Signe de $f'$	Factorisation, tableau de signes
6	Tableau de variations	Signe de $f'$ + valeurs remarquables
7	Convexité	$f''$ et son signe
8	Résolution $f(x) = k$	Corollaire du TVI
9	Tangente	$y = f'(a)(x-a) + f(a)$
10	Tracé	Asymptotes, extrema, tangentes clés

T2 — Ensemble de définition — conditions d'existence

Pour $f(x)$ existe :

• Dénominateur $D(x) \ne 0$.
• Racine carrée : $\sqrt{u(x)}$ exige $u(x) \geqslant 0$.
• Logarithme : $\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$.
• Combinaison : intersection des conditions.

T3 — Position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à une droite $y = ax + b$

Étudier le signe de $f(x) - (ax + b)$ :

• Positif : $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite.
• Négatif : $\mathcal{C}_f$ en-dessous de la droite.
• Nul : les deux courbes se coupent (point d'intersection).

T4 — Extrema

• Un extremum local de $f$ correspond à un $x_0$ où $f'(x_0) = 0$ et $f'$ change de signe.
• Si $f'$ passe de $+$ à $-$ : $f(x_0)$ est un maximum local.
• Si $f'$ passe de $-$ à $+$ : $f(x_0)$ est un minimum local.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Déterminer l'ensemble de définition

Démarche. Identifier tous les points « à risque » et écrire les conditions :

• Fractions : dénominateur $\ne 0$.
• Racines : radicande $\geqslant 0$.
• Logarithmes : argument $> 0$.

Exemple. $f(x) = \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 3}$.

Conditions : $x - 1 > 0$ et $x - 3 \ne 0$, soit $x > 1$ et $x \ne 3$.

$D_f = ]1\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$.

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M2 — Étudier les limites aux bornes (déduire les asymptotes)

Démarche.

1. Identifier les bornes de $D_f$ (finies ou infinies).
2. Calculer $\lim\limits_{x \to \text{borne}} f(x)$ (voir fiche Limites de fonctions, méthodes M1 à M6).
3. Interpréter :
   • Limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ ⇒ asymptote horizontale $y = \ell$.
   • Limite infinie en $a$ fini ⇒ asymptote verticale $x = a$.

Rédaction canonique.

$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$, donc la droite $y = 2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

$\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$, donc la droite $x = 3$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

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M3 — Calculer $f'(x)$

Démarche. Identifier la forme de $f$ (produit, quotient, composée) et appliquer les formules (voir fiche Dérivation et convexité).

Rappel des formules-clés :

• $(u \times v)' = u'v + uv'$
• $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
• $(e^u)' = u'\,e^u$
• $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ ($u > 0$)
• $(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}$

Rédaction : toujours écrire la formule littérale, puis substituer.

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M4 — Étudier le signe de $f'(x)$

Démarche.

1. Factoriser $f'(x)$ pour isoler des facteurs faciles à étudier.
2. Utiliser les faits « gratuits » : $e^u > 0$ toujours, $\sqrt{u} > 0$ (pour $u > 0$), $u^2 \geqslant 0$.
3. Le signe de $f'$ dépend alors du reste — souvent un polynôme du premier ou second degré.
4. Résoudre les inéquations (polynôme du second degré : discriminant).
5. Dresser un tableau de signes.

Exemple. $f'(x) = (2x - 4)\,e^{-x^2}$.

$e^{-x^2} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $2x - 4$ : négatif pour $x < 2$, positif pour $x > 2$.

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M5 — Dresser le tableau de variations

Structure canonique en 3 lignes.

Ligne 1 : $x$ avec les bornes de $D_f$ et les valeurs remarquables (racines de $f'$).

Ligne 2 : signe de $f'(x)$ avec les zéros.

Ligne 3 : variations de $f$ avec :

• Les limites aux bornes (calculées en M2).
• Les valeurs de $f$ aux extrema locaux (là où $f'$ s'annule).
• Les flèches ↗ (croissance) et ↘ (décroissance).

Point-clé : ne pas oublier de calculer les valeurs de $f$ aux extrema — le tableau doit être complet.

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M6 — Étudier la convexité et les points d'inflexion

Démarche (voir fiche Dérivation et convexité, M4-M5).

1. Calculer $f''(x)$ en dérivant $f'$.
2. Étudier le signe de $f''(x)$ (souvent après factorisation).
3. Conclure : $f$ convexe où $f'' \geqslant 0$, concave où $f'' \leqslant 0$.
4. Les points d'inflexion sont les abscisses où $f''$ change de signe (calculer $f(x_0)$ pour donner le point complet).

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M7 — Résolution d'équation $f(x) = k$ (via TVI)

Type d'énoncé : « Démontrer que l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[a\,;b]$. »

Démarche (voir fiche Continuité et TVI, M1) :

1. Continuité (généralement acquise).
2. Stricte monotonie (lue dans le tableau de variations).
3. $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$.
4. Conclusion par corollaire du TVI.

Souvent en question intermédiaire, suivi de l'encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ (par balayage à la calculatrice).

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M8 — Tangente et position par rapport à la tangente

Équation de la tangente en $a$ : $T_a : y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Position : étudier le signe de $f(x) - T_a(x)$ (ou utiliser la convexité — voir fiche Dérivation et convexité, M7).

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M9 — Position par rapport à une asymptote (oblique ou horizontale)

Type d'énoncé : « Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $y = 2$ (asymptote horizontale). »

Démarche. Étudier le signe de $f(x) - 2$ sur $D_f$.

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M10 — Tracé de la courbe

Éléments à faire figurer :

• Les asymptotes (en pointillés).
• Les points d'intersection avec les axes.
• Les tangentes clés (aux extrema : horizontales ; au point d'inflexion si demandé).
• La courbe elle-même, respectant les variations et la convexité.

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4. Analyse fréquentielle

• L'exercice d'étude complète de fonction est le plus fréquent au bac spécialité maths. Il est présent dans quasiment tous les sujets, souvent noté 6 à 9 points sur 20.
• Structure canonique en 5 à 8 questions :
  1. Ensemble de définition (parfois donné dans l'énoncé)
  2. Limites aux bornes
  3. Calcul de $f'$
  4. Signe de $f'$ et tableau de variations
  5. Éventuellement : convexité et point d'inflexion
  6. Éventuellement : équation $f(x) = k$ via TVI
  7. Éventuellement : tangente et position
  8. Parfois : calcul d'intégrale, aire, ou lien avec une suite $u_n = f(n)$
• Fonctions les plus fréquentes :
  • $f(x) = (ax + b)\,e^{cx}$ (Métropole 2021, 2022, 2023 ; Polynésie 2023)
  • $f(x) = x + \dfrac{a}{x + b}$ (Antilles 2023)
  • $f(x) = \ln u(x)$ ou $x \ln x$ (Métropole sept. 2023 ; Polynésie 2024)
• Question convexité : présente dans environ 1 sujet sur 2.
• Question TVI : présente dans environ 60 % des études complètes.
• Question Python (algorithme d'encadrement) : fréquente en fin d'exercice.

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5. Erreurs fréquentes

1. Oublier une condition d'existence dans l'ensemble de définition (racine, log).
2. Sauter une F.I. dans le calcul de limite — voir fiche Limites de fonctions.
3. Oublier de préciser $e^u > 0$ ou $u^2 \geqslant 0$ dans l'étude du signe de $f'$.
4. Erreur sur la formule du quotient : signe $-$ (pas $+$).
5. Oublier le facteur $u'$ dans les dérivées composées.
6. Ne pas calculer $f$ aux extrema dans le tableau de variations : ligne des valeurs incomplète.
7. Utiliser le TVI sans vérifier la stricte monotonie : conclusion « unique solution » incorrecte.
8. Confondre $f'$ et $f''$ dans l'étude de convexité.
9. Confondre asymptote horizontale et oblique : au programme du bac spé, seules H et V.
10. Tracer une courbe non compatible avec la convexité : par exemple, faire un « ventre » là où $f$ est convexe (creux vers le haut).
11. Oublier les limites à droite et à gauche en un point où $f$ n'est pas définie.
12. Ne pas préciser l'asymptote dans la conclusion de la limite : « $\lim = \ell$ » sans mentionner l'asymptote.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Règle
Plan-type	Def · Limites · $f'$ · signe · TVar · Convexité · TVI · Tangente · Tracé
Ensemble de définition	Racine ≥ 0, log > 0, dénominateur ≠ 0
Asymptote H	$\lim_{\pm\infty} f = \ell$ ⇒ $y = \ell$ asymptote
Asymptote V	$\lim_{x \to a} f = \pm\infty$ ⇒ $x = a$ asymptote
Signe de $f'$	Après factorisation, isoler $e^u > 0$, $u^2 \geqslant 0$
Tableau de variations	3 lignes : $x$, signe $f'$, variations avec valeurs
Convexité	Signe de $f''$ ; point d'inflexion = $f''$ change de signe
TVI	Continuité + stricte monotonie + $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$
Tangente	$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Position asymptote	Signe de $f(x) -$ (équation de l'asymptote)

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Étude complète type $(ax+b)\,e^{cx}$ (référence Fonction exponentielle) :

• Métropole — 2021 J2 ex. 2 · 2022 J2 ex. 4 · 2023 J1 ex. 2 · 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 3 · 2024 J2 ex. 4
• Amérique du Nord — 2024 J1 ex. 3
• Amérique du Sud — 2023 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 3
• Asie — 2024 J1 ex. 1
• Centres Étrangers — 2024 J2 ex. 2

Étude complète avec fraction rationnelle :

• Amérique du Sud — 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 3