Exercice 4 — Dérivation, Étude complète de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1 ;+\infty[$ par :

$f(x)=a+\dfrac{b \ln (x+1)}{x+1}.$

où $a$ et $b$ sont des réels, et ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]-1 ; +\infty [$.

On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A

L'objectif de cette partie est de déterminer les valeurs de $a$ et $b$ de sorte que la courbe représentative de la fonction $f$ sur $]-1 ;+\infty[$ corresponde à celle tracée dans le repère orthonormé ci-dessous :

(Figure : voir le sujet PDF.)

On précise que la droite $T_{\mathrm{A}}$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point A$(0 ; 1)$.

• 1. Justifier que $a=1$.

• 2. En utilisant le graphique :

  • a) Donner la valeur de $f'(0)$.

    Justifier.

  • b) Donner le signe de $f''(1)$.

    Justifier.

• 3.

  • a) Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]-1 ;+\infty[$, on a :

    $f'(x)=\dfrac{b(1-\ln (x+1))}{(x+1)^{2}}$

  • b) En déduire la valeur de $b$.

Partie B

On admet dans la suite de l'exercice que la fonction $f$ est définie sur $]-1 ;+\infty[$ par :

$f(x)=1+\dfrac{4 \ln (x+1)}{x+1}$

• 1. Justifier que la droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.

• 2. Résoudre l'inéquation $1-\ln (x+1)>0$ sur $]-1 ;+\infty[$.

• 3. On admet que $\lim\limits_{x \to -1} f(x)=-\infty$.

  Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ en indiquant la valeur exacte de son extremum.

  Justifier.

• 4. Montrer que l'équation $f(x)=1,5$ admet une unique solution dans l'intervalle $[2 ; +\infty[$.

  En donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.

• 5.

  • a) Montrer que :

    $\int_{0}^{2} \dfrac{\ln (x+1)}{x+1} \text{d} x=\dfrac{1}{2}\big(\ln 3\big)^{2}.$

  • b) En déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$.