Exercice 4 — Combinatoire et dénombrement, Équations différentielles

Partie A : dénombrement

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre $- 30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : {$- 30 ; - 29 ; - 28 ;  ... - 1 ; 1 ;  ...  ;  28 ; 29 ; 30$}. Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.

• 1. Combien de couples $(a ;  c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?

On considère l'évènement $M$ : « l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.

• 1. Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $ac < 1$.
• 2. Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte 1740 issues.
• 3. Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B : équation différentielle

On considère l'équation différentielle

$(E) :\quad y' + 10y = \left(30x^2 + 22x - 8\right)\text{e}^{-5x+1}$ avec $x \in \mathbb{R}$

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

• 1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y' + 10y = 0$.

• 2. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

  $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\text{e}^{-5x+ 1}.$

  On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

  Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$.

• 3. Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$.

Partie C : étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la partie B question 2.

On rappelle que, pour tout réel $x\:, f(x) = \left(6x^2 + 2x - 2\right)\text{e}^{-5x+ 1}$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

• 1. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$

• 2. En utilisant la partie A, montrer que $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).

• 3. En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathcal{C}_f$ possède deux tangentes horizontales.

• 4. Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.

• 5. Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation $f(x)= 1$.

• 6. Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0,2$, on définit $I_m$ par $I_m = \displaystyle\int_{0,2}^m f(x)\:\text{d}x$.

  • a) Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par

    $F(x) = \left(-\dfrac65 x^2 - \dfrac{22}{25}x + \dfrac{28}{125}\right)\text{e}^{-5x+ 1}$

    est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

  • b) Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m = 0$ ?

    Interpréter graphiquement ce résultat.