Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Principaux domaines abordés : Probabilités

Au basket-ball, il existe deux sortes de tir :

• les tirs à deux points.

Ils sont réalisés près du panier et rapportent deux points s'ils sont réussis.

• les tirs à trois points.

Ils sont réalisés loin du panier et rapportent trois points s'ils sont réussis.

Stéphanie s'entraîne au tir. On dispose des données suivantes :

• Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points. Parmi eux, 60 % sont réussis.

• Trois quarts de ses tirs sont des tirs à trois points. Parmi eux, 35 % sont réussis.

• 1. Stéphanie réalise un tir.

  On considère les évènements suivants :

  • $D$ : « Il s'agit d'un tir à deux points ».

  • $R$ : « le tir est réussi ».

  • a) Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.

  • b) Calculer la probabilité $p\left(\overline{D} \cap R\right)$.

  • c) Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est égale à $0,4125$.

  • d) Stéphanie réussit un tir. Calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points. Arrondir le résultat au centième.

• 2. Stéphanie réalise à présent une série de $10$ tirs à trois points.

  On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis.

  On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.

  • a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

  • b) Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

  • c) Déterminer la probabilité que Stéphanie rate $4$ tirs ou plus. Arrondir le résultat au centième.

  • d) Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs. Arrondir le résultat au centième.

• 3. Soit $n$ un entier naturel non nul.

  Stéphanie souhaite réaliser une série de $n$ tirs à trois points.

  On considère que les tirs sont indépendants. On rappelle que la probabilité qu'elle réussisse un tir à trois points est égale à $0,35$.

  Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité que Stéphanie réussisse au moins un tir parmi les $n$ tirs soit supérieure ou égale à $0,99$.