Exercice 3 — Distances, projetés, aires et volumes, Orthogonalité et produit scalaire

Principaux domaines abordés : géométrie dans l'espace

Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d'une pyramide EFGHS.

On a DC $= 6$,:: DA = DH $= 4$.

Soit les points I, J et K tels que

$\overrightarrow{\text{DI}} = \dfrac16\overrightarrow{\text{DC}}, \quad \overrightarrow{\text{DJ}} = \dfrac14\overrightarrow{\text{DA}},\quad \overrightarrow{\text{DK}} = \dfrac14\overrightarrow{\text{DH}}$.

On note $\overrightarrow{\imath} = \overrightarrow{\text{DI}},\:\overrightarrow{\jmath} = \overrightarrow{\text{DJ}},\: \overrightarrow{k} = \overrightarrow{\text{DK}}$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{D} ; \overrightarrow{\imath},\:\overrightarrow{\jmath}, \: \overrightarrow{k}\right)$.

On admet que le point S a pour coordonnées (3 ; 2 ; 6).

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Donner, sans justifier, les coordonnées des points B, E, F et G.

• 2. Démontrer que le volume de la pyramide EFGHS représente le septième du volume total de la maison.

  On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule :

  $V = \dfrac13 \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.$

• 3.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}0

    1

    1\end{pmatrix}$ est normal au plan (EFS).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (EFS) est $y + z - 8 = 0$.

• 4. On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment [PQ]. On dispose des données suivantes:

  • le point P appartient au plan (EFS) ;

  • le point Q a pour coordonnées (2 ; 3 ; 5,5) ;

  • la droite (PQ) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{k}$.

  • a) Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (PQ) est :

    x &=&2 \\

y &=&3 \ z &=& 5,5 + t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})$$

• b) En déduire les coordonnées du point P.

• c) En déduire la longueur PQ de l'antenne.

• 5. Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :

  x & =& -4 +6s \\

y &=& 7 - 4s \ z &=& 2 + 4s \end{array}\right.\quad (s \in \mathbb{R})$$

Déterminer la position relative des droites (PQ) et $\Delta$.

L'oiseau va-t-il percuter l'antenne représentée par le segment [PQ] ?