Exercice 2 — Dérivation et convexité, Étude complète de fonction

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par :

$f(x) = x \ln (x) - x - 2.$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

• 1.

  • a) Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, on a $f'(x) = \ln (x)$.

  • b) Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x =$e.

  • c) Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

  • d) En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$.

• 2.

  • a) Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$.

  • b) Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.

• 3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

• 4.

  • a) Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $]0 ; +\infty[$. On note $\alpha$ cette solution.

  • b) Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l'intervalle ]4,3 ; 4,4[.

  • c) En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

• 5. On considère la fonction seuil suivante écrite dans le langage Python :

  On rappelle que la fonction log du module math (que l'on suppose importé) désigne la fonction logarithme népérien ln.

  def& seuil(pas) :
  &x=4.3
  &while x*log (x) - x - 2 < 0:
  &     x=x+pas
  &return x
  

  Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction seuil(0.01) ?

  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.