Exercice 4 — Limites de suites, Suites et récurrence

Principaux domaines abordés : suites, fonctions, primitives

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.*

• 1. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

  $u_n = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}.$

  On peut affirmer que:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

  Dans les questions 2 et 3, on considère deux suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ vérifiant la relation :

$w_n = \text{e}^{- 2v_n} + 2.$

• 1. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On a $v_0 = \ln (a)$.

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 2. On sait que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On peut affirmer que la suite $\left(w_n\right)$ est :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. On considère la suite $\left(a_n\right)$ ainsi définie :

  $a_0 = 2 \:\:\text{et, pour tout entier naturel}\: n, \quad a_{n+1} = \dfrac13a_n + \dfrac83.$

  Pour tout entier naturel $n$, on a :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 4. On considère une suite $\left(b_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a :

  $b_{n+1} = b_n + \ln \left(\dfrac{2}{\left(b_n \right)^2 + 3}\right).$

  On peut affirmer que :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par :

  $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}.$

  On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.

  La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 6. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

  $f(x) = x\text{e}^{x^2+1}.$

  Soit $F$ une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$. Pour tout réel $x$, on a :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)