Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère les points suivants:

A(1 ; 3 ; 0), B$(-1 ; 4 ; 5)$, C(0 ; 1 ; 0) et D$(- 2 ; 2 ; 1)$.

• 1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

• 2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

• 3. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2

  -1

  1\end{pmatrix}$.

  • a) Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).

  • b) Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne:

    $2x - y + z + 1 = 0.$

  • c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

• 4. On appelle H le point de coordonnées $\left(-\frac 23   \frac 43 ; \frac 53\right)$.

  Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

• 5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par$V = \dfrac 13 B \times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base.

  • a) Montrer que DH $=\dfrac{2\sqrt 6}{3}$.

  • b) En déduire le volume du tétraèdre ABCD.

• 6. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :

  x&=&1 - 2k \\

y&=& - 3k \ z&=&1 + \phantom{3}k \end{array}\right. : \text{où}:: k :\ \text{décrit}:: \mathbb{R}.$$

La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?