Exercice 2 — Étude complète de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]2 ;  +\infty[$ par

$f(x) = x \ln (x - 2).$

Une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$ ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes.

• 2. Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]2 ; +\infty[$.

• 3. Calculer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2

  x > 2}} f(x)$.

  Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1. ?

• 4. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2 ; +\infty[$ :

  $f'(x) = \ln (x - 2) + \dfrac{x}{x - 2}.$

• 5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$ par $g(x) = f'(x)$.

  • a) Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $]2 ; +\infty[$, on a:

    $g'(x) = \dfrac{x - 4}{(x - 2)^2}.$

  • b) On admet que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 2

    x>2}} g(x) = + \infty$et que$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = +\infty$.

    En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $]2 ; +\infty[$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$.

  • c) En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $]2 ; +\infty[$,: $g(x) > 0$.

  • d) En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $]2 ; +\infty[$.

• 6. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]2 ; +\infty[$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.

• 7. Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à $3$ ?