Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.

Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plate- forme numérique de la concession. On a ainsi observé que :

• 20 % des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et 80 % préfèrent s'orienter vers l'achat d'un véhicule à moteur thermique ;
• lorsqu'un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,5$ ;
• lorsqu'un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,375$.

On considère les évènements suivants:

• $C$ : « un client a consulté la plate-forme numérique » ;
• $E$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique » ;
• $T$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique ».

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

• 1.

  • a) Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique.

    On pourra utiliser un arbre pondéré.

  • b) Démontrer que $P(C) = 0,4$.

  • c) On suppose qu'un client a consulté la plate-forme numérique.

    Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique.

• 2. La concession accueille quotidiennement $17$ clients en moyenne.

  On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.

  • a) Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.

  • b) Calculer la probabilité qu'au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d'une journée.

    Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.