Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Limites de suites

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \dfrac34 x^2 - 2x + 3.$

• 1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

• 2. En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac43 ; 2\right]$,: $f(x)$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac43 ; 2\right]$.

• 3. Démontrer que pour tout $x$ réel, $x \leqslant f(x)$.

  Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ :

  $f(x) - x = \dfrac34(x - 2)^2.$

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = f\left(u_n\right).$

On a donc, pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = \dfrac34 u_n^2 - 2u_n + 3.$

• 1. Étude du cas: $\dfrac43 \leqslant u_0 \leqslant 2$.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

    $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2.$

  • b) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

  • c) Prouver que la limite de la suite est égale à 2.

• 2. Étude du cas particulier : $u_0 = 3$.

  On admet que dans ce cas la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$.

  Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à 100.

  def seuil() :
        u = 3
        n = 0
       while …
            u = …
            n = …
       return n
  

• 3. Étude du cas : $u_0 > 2$.

  À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que $\left(u_n\right)$ n'est pas convergente.