Exercice 2 — Limites de fonctions, Dérivation

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \left(x + \dfrac12\right)\text{e}^{-x} + x.$

• 1. Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.

• 2. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

  • a) Démontrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,

    $f''(x) = \left(x - \dfrac32\right) \text{e}^{-x}.$

  • b) En déduire les variations et le minimum de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$.

  • c) Justifier que pour tout $x \in \mathbb{R},\: f'(x) > 0$.

  • d) En déduire que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

  • e) Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.

Partie B

On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, ayant une expression de la forme

$h(x)= (ax + b)\text{e}^{-x} + x$, :où $a$ et $b$: sont deux réels.

Dans un repère orthonormé ci-après figurent:

• la courbe représentative $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ ;
• les points A et B de coordonnées respectives $(-2 ; -2,5)$ et (2 ; 3,5).

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$.

• 2. Sachant que la fonction $h$ admet sur $\mathbb{R}$ une dérivée seconde d'expression

  $h''(x) = - \dfrac32 \text{e}^{- x} + x\text{e}^{- x}.$

  valider ou non la conjecture précédente.

• 3. Déterminer une équation de la droite (AB).

• 4. Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d'abscisse 0, en déduire les valeurs de $a$ et $b$.