Exercice 2 — Équations différentielles, Dérivation et convexité

On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle.

Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant :

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps.

Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $[0  ;  +\infty [$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en année, à partir de l'année 2000.

Dans son modèle, l'image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000.

Partie A. Modèle 1

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante :

$$y'=0,05 y-0,5 \quad\left(E_{1}\right)$$

• 1. Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ avec la condition initiale $y(0)=50$.

• 2. Comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.

Partie B. Modèle 2

Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante :

$$y'=0,05 y(1-0,00125 y)$$

On note $f$ la fonction définie sur $[0  ;  +\infty[$ par :

$$f(x)=\dfrac{800}{1+15 \text{e}^{-0,05 x}}$$

et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants.

Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser ces résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.

(Tableau : voir le sujet PDF.)

• 1. Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0)=50$ et que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

  $$f'(x)=0,05 f(x)(1-0,00125 f(x))$$

  On admet que cette fonction $f$ est l'unique solution de $(E_{2})$ prenant la valeur initiale de 50 en 0.

• 2. Avec ce nouveau modèle $f$, estimer l'effectif de cette population en 2050. Arrondir le résultat à l'unité.

• 3. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe $C$ ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret.

• 4. Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0  ; +\infty[$.

• 5. Démontrer le résultat obtenu en ligne 4 du logiciel.

• 6. On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$.

  • a) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0  ;  +\infty[$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $C$.

  • b) La direction de la réserve affirme :

    « Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer ». La direction a-t-elle raison? Justifier.