Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Suites et récurrence

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n+1}=2+\ln \left(u_{n}^{2}-3\right).$$

On admet que cette suite est bien définie.

Partie A : Exploitation de programmes Python

• 1. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour que suite(k) qui prend en paramètre un entier naturel k, renvoie la liste des $k$ premières valeurs de la suite $(u_{n})$.

  Remarque : On précise que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.

  def suite(k):
  
      	L = []
  
      	u = 5
  
      	for i in range(......):
  
  L.append(u)
  
  u=............
  
      	return(......)
  

• 2. On a exécuté suite(9) ci-dessous. Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ et l'autre sur son éventuelle convergence.

  
  
  *(Tableau : voir le sujet PDF.)*
  
  
  

• 3. On a ensuite créé la fonction mystere(n) donnée ci-dessous et exécuté \linebreak mystere(10000), ce qui a renvoyé 1.

  Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ ? Justifier.

  def mystere(n):
  
    L = suite(n)
  
   	c = 1
  
   	for i in range(n - 1):
  
  if L[i] > L[i + 1]:
  
    c = 0
  
    return c
  

  
  ```python
  
  
  *(Tableau : voir le sujet PDF.)*
  
  
  

Partie B : Étude de la convergence de la suite ( $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{n}}$ )

On considère la fonction $g$ définie sur $[2  ; +\infty [$ par :

$g(x)=2+\ln \left(x^{2}-3\right)$

On admet que $g$ est dérivable sur $\left[2  ; +\infty\left[\right.\right.$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

• 1. Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $[2  ; +\infty[$.

• 2.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :

    $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6.$

  • b) En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.

Partie C : Étude de la valeur de la limite

On considère la fonction $f$ définie sur [ 2 ; $+\infty$ [ par :

$f(x)=2+\ln \left(x^{2}-3\right)-x.$

On admet que $f$ est dérivable sur $[2  ; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On donne le tableau de variations de $f$ suivant. On ne demande aucune justification.

$*(Tableau : voir le sujet PDF.)*$

• 1.

  • a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $[2  ; +\infty[$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<\beta$.

  • b) Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.

• 2. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_{n})$.

  Justifier que $f(\ell)=0$ et déterminer $\ell$.