Exercice 4 — Limites de fonctions, Équations différentielles

*Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

Une absence de réponse n’est pas pénalisée.*

• 1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ;  +\infty[$ par :

  $f(x) = \ln (x) - x^2.$

  Affirmation 1 : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.

• 2. On considère l’équation différentielle

  $(E) : \quad - 2y' + 3y = \sin x + 8\cos x.$

  On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

  $f(x) = 2\cos x - \sin x.$

  Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.

• 3. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par :

  $g(x) = \ln (3x + 1) + 8.$

  On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 25$ et pour tout entier naturel $n$ :

  $u_{n+1} = g(u_n).$

  On admet que la suite $(u_n)$ est strictement positive.

  Affirmation 3 : La suite $(u_n)$ est décroissante.

• 4. On considère une fonction affine $h$ définie sur $\mathbb{R}$.

  On note $k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = x^4 + x^2 + h(x)$.

  Affirmation 4 : La fonction $k$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

• 5. Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.

  Exemple : le mot BAC est possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.

  Affirmation 5 : Le mot EULER possède 120 anagrammes.