Exercice 3 — Limites de suites, Dérivation et convexité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

• 1. Soit $\left(u_n\right)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ et vérifiant la relation suivante:

  pour tout entier naturel $n,\:\: \dfrac12 < u_n \leqslant \dfrac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1}$.

  Affirmation 1 $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n =\dfrac12$.

• 2. Soit $h$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-4 ; 4].

  La représentation graphique $\mathcal{C}_{h'}$ de sa fonction dérivée $h'$ est donnée ci-dessous.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Affirmation 2 : La fonction $h$ est convexe sur $[-1 ; 3]$.

• 3. Le code d'un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple: 1232BA).

  Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.`

• 4. On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x \ln x$.

  Affirmation 4 : La fonction $f$ est une solution sur $]0 ;  +\infty[$ de l'équation différentielle

  $xy' - y = x.$