Exercice 2 — Limites de fonctions, Dérivation

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\mathrm{e}^{3 x}-(2 x+1) \mathrm{e}^{x}$

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire

On définit la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=3 \mathrm{e}^{2 x}- 2 x - 3$

• 1.

  • a) Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$.

  • b) Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.

• 2.

  • a) On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $g'$ sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $g'(x)=6 \mathrm{e}^{2 x}-2$.

  • b) Étudier le signe de la fonction dérivée $g'$ sur $\mathbb{R}$.

  • c) En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$. Vérifier que la fonction $g$ admet un minimum égal à $\ln (3) - 2$.

• 3.

  • a) Montrer que $x=0$ est solution de l'équation $g(x) = 0$.

  • b) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une deuxième solution, non nulle, notée $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.

• 4. Déduire des questions précédentes le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B - Étude de la fonction $f$

• 1. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f'$ sa fonction dérivée.

  Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x)=\mathrm{e}^{x} g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie A.

• 2. En déduire alors le signe de la fonction dérivée $f'$ puis les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

• 3. Pourquoi la fonction $f$ n'est-elle pas convexe sur $\mathbb{R}$ ? Expliquer.