Exercice 4 — Limites de fonctions, Dérivation

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par :

$f(x) = 5x^2 + 2x - 2x^2\ln (x).$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

• 1.

  • a) Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.

  • b) Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

• 2. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

• 3.

  • a) Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$

    $f''(x) = 4(1 - \ln (x)).$

  • b) En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.

  • c) Dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

    (On admettra que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0

    x>0}} f'(x) = 2$et que$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f'(x) = - \infty$.)

• 4.

  • a) Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet dans l'intervalle $]0 ; +\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.

  • b) En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

• 5.

  • a) En utilisant l'égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que :

    $\ln (\alpha) = \dfrac{4\alpha + 1}{2\alpha}.$

    En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2 + \alpha$.

  • b) En déduire un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.