Exercice 3 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Les cinq questions sont indépendantes.*

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$.

On considère les points A$(-1 ; 2 ; 5)$, B$(3 ; 6 ; 3)$, C$(3 ; 0 ; 9)$ et D$(8 ; -3 ; -8)$.

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

• 1. ABC est un triangle :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 2. Une équation cartésienne du plan (BCD) est :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x- 2y - 2z + 15 = 0$.

  On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

  On peut affirmer que :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 4. Soit la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}x=\phantom{-}5+t \\ y=\phantom{-}3-t \\ z =-1 + 3t \end{array}\right.$, avec $t$ réel.

  Les droites (BC) et $\Delta$ sont :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 5. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 2z - 6 = 0$.

  On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $x-2 y-2 z+15=0$.

  On peut affirmer que :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)