Exercice 2 — Limites de fonctions, Dérivation

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ;  +\infty[$ par:

$f(x) = x\text{e}^{-x}.$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0 ;  +\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

• 1. En remarquant que pour tout $x$ dans $[0 ;  +\infty[$, on a

  $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x}.$

  démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+ \infty$ dont on donnera une équation.

• 2. Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ;  +\infty[$ :

  $f'(x) = (1 - x)\text{e}^{-x}.$

• 3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ;  +\infty[$ , sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum.

• 4. Déterminer, sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$, le nombre de solutions de l'équation

  $f(x) = \dfrac{367}{1000}.$

• 5. On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0 ;  +\infty[$ :

  $f''(x) = \text{e}^{-x}(x - 2).$

  Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$.

• 6. Soit $a$ un réel appartenant à $[0 ;  +\infty[$ et A le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.

  On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en A.

  On note H$_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et de l'axe des ordonnées.

  On note $g(a)$ l'ordonnée de H$_a$.

  La situation est représentée sur la figure ci-contre.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) Démontrer qu'une équation réduite de la tangente $T_a$ est:

    $y = \left[(1- a)\text{e}^{-a}\right]x + a^2\text{e}^{-a}.$

  • b) En déduire l'expression de $g(a)$.

  • c) Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque A est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.

    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.