Exercice 4 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ))

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{11}{u_{n}}\right)$

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

Partie A - Étude de la suite $\left(u_{n}\right)$- 1. Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.

• 2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty [$ par :

  $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right)$

  Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{11} ; +\infty\right[$.

• 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $: u_{n} \geqslant u_{n+1} \geqslant \sqrt{11}$.

• 4. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.

• 5. Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.

Partie B - Application géométrique

Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_{n}$ d'aire 11 dont la largeur est notée $\ell_{n}$ et longueur $L_{n}$

La suite $\left(L_{n}\right)$ est définie par $L_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$,

$L_{n+1}=\frac{L_{n}+\ell_{n}}{2}$

• 1.

  • a) Expliquer pourquoi $\ell_{0}=2,2$.

  • b) Établir que pour tout entier naturel $n$,

    $\ell_{n}=\frac{11}{L_{n}}.$

• 2. Vérifier que la suite $\left(L_{n}\right)$ correspond à la suite $\left(u_{n}\right)$ de la partie A.

• 3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n} \leqslant \sqrt{11} \leqslant L_{n}$.

• 4. On admet que les suites $\left(L_{n}\right)$ et $\left(\ell_{n}\right)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la partie B.

• 5. Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :

  1 & def heron(n):
  2 &      L=5
  3 &      \ell=2.2
  4 &      for i in range(n):
  5 &      L = (L+\ell) / 2
  6 &      \ell = 11 / L
  7 &      return round(\ell,6), round(L,6)
  

  On rappelle que la fonction Python round(x,k) renvoie une version arrondie du nombre x avec k décimales.

  • a) Si l'utilisateur tape heron(3) dans une console d'exécution Python, qu'obtient-il comme valeurs de sortie pour $\ell$ et $L$ ?

  • b) Donner une interprétation de ces deux valeurs.