Exercice 4 — Étude complète de fonction, Dérivation et convexité

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par

$f(x)=\dfrac{\ln (x)}{x^{2}}$

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A

• 1.

  • a) Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle $] 0;+\infty[$.

  • b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

• 2. Pour tout réel strictement positif $x$, démontrer que

  $f'(x)=\dfrac{1-2 \ln (x)}{x^{3}}$

• 3. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.

• 4. Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1.

• 5. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$, on a

  $f''(x)=\dfrac{-5+6 \ln (x)}{x^{4}}$

• 6.

  • a) Étudier la convexité de la fonction $f$ en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion.

  • b) En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0 ; \text{e}^{\frac{5}{6}}\right]$, on a

    $x-1 \geqslant \dfrac{\ln (x)}{x^{2}}$

• 7. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left[\text{e}^{\frac{5}{6}} ; +\infty\right[$, on a aussi

  $x-1 \geqslant \dfrac{\ln (x)}{x^{2}}$

Partie B

On considère la suite $(I_{n})$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par :

$I_{n}=\int_{1}^{n} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \text{d} x$

• 1. Donner une interprétation graphique de $I_{n}$ pour $n$ un entier naturel non nul.

• 2. Démontrer que la suite $(I_{n})$ est croissante.

• 3. On souhaite calculer une approximation de $\displaystyle \int_{1}^{10} f(x) \text{d} x$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python.

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

  Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé.

• 4. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$,

  $I_{n}=\dfrac{n-1-\ln (n)}{n}$

• 5. Calculer la limite de la suite $(I_{n})$ quand $n$ tend vers $+\infty$.