Exercice 2 — Fonction exponentielle, Étude complète de fonction

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par :

$f(x) = \dfrac{1}{a+ \text{e}^{-bx}}$

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous :

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On considère les points A(0 ; 0,5) et B(10 ; 1).

On admet que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

• 1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.

• 2. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$.

  Donner une interprétation graphique de ce résultat.

• 3. Justifier que $a = 1$.

• 4. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).

• 5.

  • a) Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.

  • b) En déduire la valeur de $b$.

Partie B

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par :

$f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}$

• 1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

• 2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

• 3. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0,97$.

• 4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs.

  Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Partie C

• 1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; +\infty[$,: $f(x) = \dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1 + \text{e}^{0,2x}}$.

• 2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

• 3. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 40], c'est-à-dire:

  $I = \dfrac{1}{40}\displaystyle\int_0^{40} \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}\,\text{d}x.$

  On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.