Exercice 4 — Primitives, Dérivation et convexité

On considère la fonction $f_{k}$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par :

$f_{k}(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}$

où $k$ est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien.

On désigne par $\mathcal{C}_{k}$ la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f_{k}$ est deux fois dérivable sur $] 0 ;+\infty[$.

On note $f_{k}'$ sa dérivée première et $f_{k}''$ sa dérivée seconde.

Partie A : étude d'un premier cas particulier

Dans cette partie, on se place dans le cas $k=2$.

La courbe $\mathcal{C}_{2}$ est représentée sur le graphique ci-dessous.

On précise que :

• Le point A est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_{2}$;

• $T_{2}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point A.

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. On considère une primitive $F_{2}$ de la fonction $f_{2}$ sur $] 0 ;+\infty[$.

  Avec la précision permise par le graphique, donner les variations de la fonction $F_{2}$ sur l'intervalle $]0 ; 3]$.

• 2. Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente $f_{2}'$ et celle qui représente $f_{2}''$.

  Justifier.

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie B : étude d'un second cas particulier

Dans cette partie on se place dans le cas $k=1$.

On considère la fonction $f_{1}$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par :

$f_{1}(x)=1-x+\dfrac{1+\ln x}{x}$

• 1.

  • a) Montrer que pour tout réel $x>0$ :

    $f_{1}'(x)=-1-\dfrac{\ln x}{x^{2}}.$

  • b) Déterminer la limite de $f_{1}'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

• 2. On admet que :

• 3. l'axe des ordonnées est une asymptote de la courbe de $f_{1}'$;

• 4. pour tout réel $x>0$, $f_{1}''(x)=\dfrac{2 \ln x-1}{x^{3}}$.

  On donne ci-dessous le tableau de variations de $f_{1}'$ sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  • a) Justifier les variations de la fonction $f_{1}'$ sur l'intervalle $]0 ;+\infty[$ et la valeur de l'extremum.

  • b) Justifier la limite de la fonction $f_{1}'$ en 0.

  • c) Montrer qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f_{1}'(x)=0$ sur $] 0 ;+\infty[$.

    En déduire que $f_{1}$ admet un maximum sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$.

  • d) Recopier et compléter les pointillés du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f_{1}'(x)=0$ sur $] 0 ;+\infty[$.

    (Tableau : voir le sujet PDF.)

    On rappelle que x**2 désigne $x^{2}$.

Partie C: $\boldsymbol{k}$ quelconque

On considère la fonction $h$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par
$h(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$,

et la fonction $H$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par
$H(x)=\dfrac{1}{2}(1+\ln x)^{2}$.

On admet que $H$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$.

• 1. Montrer que la fonction $H$ est une primitive de $h$.

On rappelle que $k$ est un réel strictement positif et que $f_{k}$ est la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par :

$f_{k}(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}$

• 1. Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle la valeur moyenne de la fonction $f_{k}$ sur l'intervalle $[ 1 ; \text{e}]$ est égale à 0 ?

  Justifier.