Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme « régulier » un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans.

Elle constate que 60 % de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, 47 % ont acheté la carte de fidélité. Par ailleurs, parmi l'ensemble de tous les clients de la société, 38 % ont acheté la carte de fidélité.

On interroge au hasard un client et on considère les évènements suivants :

• $R$ : « le client est un client régulier » ;
• $F$ : « le client a acheté la carte de fidélité ».

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

• 1.
  • a) Reproduire l'arbre pondéré (voir l'arbre à compléter dans le sujet PDF) et compléter les pointillés.
  • b) Calculer la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu'il ait acheté la carte de fidélité.
  • c) Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n'est pas un client régulier.
  • d) Le directeur du service des ventes affirme que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de 80 % sont des clients réguliers. Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
• 2. On choisit un échantillon de 20 clients de la société sélectionnés de manière indépendante. On suppose que ce choix s'assimile à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $20$ clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F) = 0{,}38$. Les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
  • a) Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
  • b) Déterminer la probabilité qu'au moins 5 clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de $20$.

Partie B

La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L'institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d'un nombre variable de questions.

On choisit au hasard un échantillon de $1\,000$ clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces $1\,000$ clients répondent.

• Pour les remercier, la société offre un bon d'achat à chacun des clients de l'échantillon. Le montant de ce bon d'achat dépend du nombre de questions posées au client.
• La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l'échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d'achat, offre à chacun d'eux une prime d'un montant de $50$ euros versée sur la carte de fidélité.

On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1\,000$ clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d'achat des 1000 clients. On admet que son espérance $E(Y_1)$ est égale à $30\,000$ et que sa variance $V(Y_1)$ est égale à $100\,000$.

On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1\,000$ clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1\,000$ clients, associe le total, en euros, des montants de la prime de fidélité versée. On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1\,000$ et $0{,}47$ et que $Y_2 = 50X_2$.

• 1. Calculer l'espérance $E(X_2)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

On note $Y = Y_1 + Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d'achat et prime de fidélité) aux $1\,000$ clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes. On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y}{1\,000}$.

• 2. Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l'exercice. Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53{,}5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à $0{,}72275$.
• 3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51{,}7$ euros et $55{,}3$ euros est supérieure à $0{,}75$.