Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

PARTIE A

ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Affirmation 1 : « $\overrightarrow{\text{JH}} = 2\overrightarrow{\text{BI}} + \overrightarrow{\text{DM}} - \overrightarrow{\text{CB}}$ »

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs $\left(\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AH}}, \overrightarrow{\text{AG}}\right)$ est une base de l'espace. »

Affirmation 3 : « $\overrightarrow{\text{IB}} \cdot \overrightarrow{\text{LM}} = - \dfrac 14$. »

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

• le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$
• les points A$(2 ; 0 ; -1)$ et B$(5 ; -3 ; 7)$

Affirmation 4 : « Le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par B a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$ »

Affirmation 6 : « La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$. »

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique

x &=&-12 + 2k \\ y &=&\phantom{-}6 \\ z &=&\phantom{-}3 - \phantom{-}5k \end{array}\right., \text{où}\, \:k \in \mathbb{R}$$ **Affirmation 7 :** « Les droites (AB) et $(d)$ ne sont pas coplanaires. »