Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Suites et récurrence

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI$^e$ siècle.

On désigne par $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par :

$u_{0}=2 \quad \text { et, pour tout entier naturel } n,\quad u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}$

Partie A

• 1.

  • a) Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$.

  • b) Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

• 2.

  • a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$.

  • b) En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.

  • c) Résoudre dans l'intervalle $[0 ; +\infty[$ l'équation $\sqrt{x} =x$.

  • d) Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

Partie B

On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln \left(u_{n}\right)$.

• 1.

  • a) Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

  • b) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

  • c) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln (2)=2^{n} \ln \left(u_{n}\right)$.

• 2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction ln et la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.

  Une équation de la droite T est $y = x - 1$.

  Les points $\mathrm{A}_{0}$, $\mathrm{A}_{1}$, $\mathrm{A}_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée 0.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln (x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99 ; 1,01[$.

  • a) Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $]0,99  ; 1,01[$ et donner une valeur approchée de $u_{k}$ à $10^{-5}$ près.

  • b) En déduire une approximation de $\ln \left(u_{k}\right)$.

  • c) Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de $\ln (2)$.

• 3. On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.

  Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de $\ln (a)$.

  On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à $\sqrt{a}$.

  from math import*
  
  def Briggs(a):
  
       n = 0
  
       while a >= 1.01:
  
            a = sqrt(a)
  
            n = n+1
  
       L =…
  
  return L