Exercice 4 — Dérivation et convexité, Calcul intégral (aires, IPP, suites d'intégrales)

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ par

$f(x) = \text{e}^x \sin (x).$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE A

• 1.

  • a) Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; \pi]$,:

    $f'(x) = \text{e}^x[\sin(x) + \cos(x)].$

  • b) Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$

• 2.

  • a) Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

  • b) Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$.

  • c) En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$,: $\text{e}^x \sin (x) \geqslant x$.

• 3. Justifier que le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

PARTIE B

On note

$I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x \sin (x)\, \text{d}x\quad \text{et}\quad J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{e}^x \cos (x)\, \text{d}x.$

• 1. En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes :

  $I= 1+J \text{et} I= \text{e}^{\frac{\pi}{2}} - J.$

• 2. En déduire que $I = \dfrac{1 + \text{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.

• 3. On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x$.

  Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0 ; \pi]$.

  Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  (Figure : voir le sujet PDF.)