Exercice 3 — Logarithme népérien, Limites de fonctions

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par

$g(x) = 1+ x^2[1 - 2 \ln (x)].$

La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

PARTIE A

• 1. Justifier que $g(\text{e})$ est strictement négatif.

• 2. Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.

• 3.

  • a) Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$,: $g'(x) = -4x \ln (x)$.

  • b) Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$

  • c) Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$.

  • d) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$

• 4. Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$.

PARTIE B

• 1. On admet que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1 ; \alpha]$, $g''(x) = - 4[\ln (x) + 1]$.

  Justifier que la fonction $g$ est concave sur l'intervalle $[1 ; \alpha]$.

• 1. Sur la figure ci-contre, A et B sont les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives 1 et $\alpha$.

  • a) Déterminer l'équation réduite de la droite (AB).

  • b) En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1 ; \alpha]$,: $g(x) \geqslant \dfrac{- 2}{\alpha - 1} x + \dfrac{2\alpha}{\alpha - 1}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)