Exercice 2 — Logarithme népérien, Limites de fonctions

Principaux domaines abordés: Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Partie A

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d'une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f'$, toutes deux définies sur $]3 ; +\infty[$.

• 1. Associer à chaque courbe la fonction qu'elle représente. Justifier.
• 2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l'équation $f(x) = 3$.
• 3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$.

Partie B

• 1. Justifier que la quantité $\ln \left(x^2- x- 6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l'intervalle $]3 ;  +\infty[$, que l'on nommera $I$ dans la suite.

• 2. On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x) = \ln \left(x^2- x- 6\right)$ sur $I$.

  Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l'intervalle $I$.

  En déduire une équation d'une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$.

• 3.

  • a) Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$.

  • b) Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$.

    Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de $I$.

• 4.

  • a) Justifier que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle ]5 ;  6[.

  • b) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

• 5.

  • a) Justifier que $f''(x) = \dfrac{- 2x^2 + 2x - 13}{\left(x^2 - x - 6\right)^2}$.

  • b) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$.