Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que

AB $= 5$, AD $= 3$ et AE $= 2$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine A dans lequel les points B, D et E ont respectivement pour coordonnées (5 ; 0 ; 0), (0 ; 3 ; 0) et (0 ; 0 ; 2).

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1.

  • a) Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points H et G.

  • b) Donner une représentation paramétrique de la droite (GH).

• 2. Soit M un point du segment [GH] tel que $\overrightarrow{\text{HM}} =k\overrightarrow{\text{HG}}$ avec $k$ un nombre réel de l'intervalle [0 ; 1].

  • a) Justifier que les coordonnées de M sont $(5k ; 3 ; 2)$.

  • b) En déduire que $\overrightarrow{\text{AM}} \cdot \overrightarrow{\text{CM}} = 25k^2 - 25k + 4$.

  • c) Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles AMC est un triangle rectangle en M.

Dans toute la suite de l'exercice, on considère que le point M a pour coordonnées (1 ; 3 ; 2).

On admet que le triangle AMC est rectangle en M .

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\dfrac13 \times\text{Aire de la base} \times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base.

• 1. On considère le point K de coordonnées (1 ; 3 ; 0).

  • a) Déterminer une équation cartésienne du plan (ACD).

  • b) Justifier que le point K est le projeté orthogonal du point M sur le plan (ACD).

  • c) En déduire le volume du tétraèdre MACD.

• 2. On note P le projeté orthogonal du point D sur le plan (AMC).

  Calculer la distance DP ; en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.