Exercice 2 — Logarithme népérien, Limites de fonctions

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$, définie sur $]0 ;  +\infty[$ ,par:

$f(x) =3x - x \ln (x) - 2 \ln (x).$

**PARTIE A: Étude d'une fonction auxiliaire ** $g$ Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ;  +\infty[$ par

$g(x) = 2(x - 1) - x \ln (x).$

On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.

• 1. Calculer $g(1)$ et $g(\text{e})$.

• 2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.

• 3. Montrer que, pour tout $x > 0$,: $g'(x) = 1 - \ln (x)$.

  En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0 ;  +\infty[$.

• 4. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $]0 ;  +\infty[$ : 1 et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[\text{e} ; +\infty[$.

  On donnera un encadrement de $\alpha$ à 0,01 près.

• 5. En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0 ;  +\infty[$.

PARTIE B : Étude de la fonction $f$ On considère dans cette partie la fonction $f$, définie sur $]0 ;  +\infty[$,par

$f(x) = 3x - x \ln (x)- 2\ln (x).$

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$ ci-dessous. On admet que : $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = + \infty$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ en justifiant votre démarche.

• 2.

  • a) Justifier que pour tout $x > 0$,: $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$.

  • b) En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0 ;  +\infty[$.

• 3. On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est définie par $f''(x) = \dfrac{2 - x}{x^2}$.

  Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.