Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Loi binomiale

Une entreprise fabrique des composants pour l'industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.

• La moitié des composants est conçue sur la chaîne n° 1 ;
• 30 % des composants sont conçus sur la chaîne n° 2;
• les composants restant sont conçus sur la chaîne n° 3.

À l'issue du processus de fabrication, il apparaît que 1 % des pièces issues de la chaîne n° 1 présentent un défaut, de même que 0,5 % des pièces issues de la chaîne n° 2 et 4 % des pièces issues de la chaîne n° 3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :

• $C_1$ l'évènement « le composant provient de la chaîne n° 1 » ;
• $C_2$ l'évènement « le composant provient de la chaîne n° 2 » ;
• $C_3$ l'évènement « le composant provient de la chaîne n° 3 » ;
• $D$ l'évènement « le composant est défectueux » et $\overline{D}$ son évènement contraire.

Dans tout l'exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à $10^{-4}$ si nécessaire.

PARTIE A

• 1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
• 2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n° 3 et soit défectueux.
• 3. Montrer que la probabilité de l'évènement $D$ est $P(D) = 0,0145$.
• 4. Calculer la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n° 3.

PARTIE B

L'entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de $n$ unités. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $n$ unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.

Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l'entreprise, on peut considérer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,0145$.

• 1. Dans cette question, les lots possèdent $20$ unités. On pose $n =20$.

  • a) Calculer la probabilité pour qu'un lot possède exactement trois composants défectueux.

  • b) Calculer la probabilité pour qu'un lot ne possède aucun composant défectueux.

    En déduire la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux.

• 2. Le directeur de l'entreprise souhaite que la probabilité de n'avoir aucun composant défectueux dans un lot de $n$ composants soit supérieure à $0,85$.

  Il propose de former des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

PARTIE C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de $15$ euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n° 1, 12 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n° 2 et 9 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n° 3.

Calculer le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise.