Exercice 4 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points

$\text{A}(0 ; 8 ; 6),\quad \text{B}(6 ; 4 ; 4 )\quad \text{et C}(2 ; 4 ; 0).$

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1.

  • a) Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

  • b) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}(1 ; 2 ; -1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).

  • c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

• 2. Soient D et E les points de coordonnées respectives (0 ; 0 ; 6) et (6 ; 6 ; 0).

  • a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DE).

  • b) Montrer que le milieu I du segment [BC] appartient à la droite (DE).

• 3. On considère le triangle ABC.

  • a) Déterminer la nature du triangle ABC.

  • b) Calculer l'aire du triangle ABC en unité d'aire.

  • c) Calculer $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}$.

  • d) En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie à $0,1$ degré.

• 4. On considère le point H de coordonnées $\left(\dfrac53 ; \dfrac{10}{3} ; - \dfrac53\right)$.

  Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

  En déduire la distance du point O au plan (ABC).