Exercice 3 — Suites et récurrence, Limites de suites

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6.$

• 1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

• 2. Soit $n$ un entier naturel.

  Recopier et compléter la fonction suite_u d'argument n ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu'elle retourne la valeur de $u_n$.

  def suite`_`u(n) :
       u = …
       for i in range(1,n+1) :
       \vline      u = …
       return u
  

• 3.

  • a) Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N} ,\quad u_n \geqslant 2n$.

  • b) En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

  • c) Soit $p \in \mathbb{N}^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n \geqslant n_0$,: $u_n \geqslant 10^p$ ?

• 4. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

• 5. On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $v_n = u_n - 2n + 1$.

  • a) En dessous de la fonction suite_u précédente, on a écrit la fonction suite_v ci-dessous :

    def suite`_`v(n):
         L = []
          for i in range(n+1) :
         \vline      L.append(suite`_`u(i) - 2*i + 1)
         return L
    

    La commande « L.append » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste L.

    Lorsqu'on saisit suite_v(5) dans la console, on obtient l'affichage suivant :

    (Tableau : voir le sujet PDF.)

    Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

    Démontrer cette conjecture.

  • b) En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.