Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et arbres, Variables aléatoires et sommes

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante.

On a constaté que :

• Si le joueur atteint la cible lors d'un tir alors il ne l'atteint pas lors du tir suivant dans 65 % des cas ;
• Si le joueur n'atteint pas la cible lors d'un tir alors il l'atteint lors du tir suivant dans 50 % des cas.

La probabilité qu'un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.

Pour tout évènement $A$, on note $p(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.

On considère les évènements suivants:

• $A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1$^{er}$ tir »

• $A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2$^e$ tir »

• $A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3$^e$ tir ».

• 1. Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.

  (Figure : voir le sujet PDF.)

  Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

• 2. Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à 0,4015.

• 3. L'objectif de cette question est de calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.

  • a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

    (Tableau : voir le sujet PDF.)

  • b) Calculer $E(X)$.

  • c) Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes.

Un joueur est déclaré gagnant lorsqu'il atteint trois fois la cible.

On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

• 1. Dans cette question, $N = 15$.

  • a) Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

  • b) Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'exactement 5 joueurs soient gagnants à ce jeu.

• 2. Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu'il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.