Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ on considère les points : A$(1 ; 1 ; -4)$, B$(2 ; -1 ; -3)$, C$(0 ; -1 ; -1)$ et $\Omega$(1 ; 1 ; 2).

• 1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan.

• 2.

  • a) Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1

    1

    1\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).

  • b) Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est $x + y + z + 2 = 0$.

• 3.

  • a) Justifier que le point $\Omega$ n'appartient pas au plan (ABC).

  • b) Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan (ABC).

On admet que $\Omega \text{H} = 2\sqrt 3$.

On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt 3$ comme l'ensemble de tous les points M de l'espace tels que $\Omega\text{M} = 2\sqrt 3$.

• 1. Justifier, sans calcul, que tout point N du plan (ABC), distinct de H, n'appartient pas à la sphère $S$.

  On dit qu'un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point K lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

  $$\bullet   \text{K} \in \mathcal{P} \cap S \\$$

\bullet   (\Omega\text{K}) \perp \mathcal{P} \end{array}$$

• 2. Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x +y - z - 6 = 0$ et le point K de coordonnées K(3 ; 3 ; 0).

  Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point K.

• 3. On admet que les plans (ABC) et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.

  Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.