Exercice 4 — Dérivation, Continuité et TVI

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) + \dfrac14 x.$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$ du plan.

Partie A

• 1. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.

• 2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

  • a) Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{\text{e}^x - 3}{4\left(\text{e}^x + 1\right)}$.

  • b) En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

  • c) Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2 ; 5].

Partie B

On admettra que la fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$,

$f''(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1\right)^2}.$

On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$ la tangente $\Delta$ et le quadrilatère MNPQ tel que M et N sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $- \alpha$, et Q et P sont les deux points de la droite $\Delta$ d'abscisses respectives $\alpha$ et $- \alpha$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1.

  • a) Justifier le signe de $f''(x)$ pour $x \in \mathbb{R}$.

  • b) En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[-\alpha ; \alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère MNPQ.

• 2.

  • a) Montrer que $f(-\alpha) = \ln \left(\text{e}^{-\alpha} + 1\right) + \dfrac34 \alpha$.

  • b) Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.