Terminale

Continuité et TVI

CONTINUITÉ ET THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Analyse (Fonctions)

Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est court mais central : il fournit l'outil qui permet de démontrer l'existence (et parfois l'unicité) d'une solution à une équation $f(x) = k$ . Il est indissociable de la méthode du point fixe des suites définies par une fonction, et sert de justification théorique dans de très nombreux exercices d'analyse.

Prérequis indispensables :

Limites de fonctions (notion de limite en un point)
Fonctions dérivables et leur sens de variation (chapitre Dérivation et convexité)
Tableau de variations

Chapitre débouchant sur : Suites définies par une fonction (justification de la continuité dans le point fixe), Étude complète de fonction (résolution d'équations $f(x) = k$ ).

1. Notions clés

1.1 Fonction continue

Intuitivement : une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe peut être tracée sans lever le crayon.

Formellement, $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

$f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

1.2 Continuité des fonctions usuelles

Toutes les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition :

Fonctions polynômes : continues sur $\mathbb{R}$ .
Fonctions rationnelles : continues sur leur ensemble de définition.
$x \mapsto \sqrt{x}$ : continue sur $[0\,;+\infty[$ .
$x \mapsto e^x$ : continue sur $\mathbb{R}$ .
$x \mapsto \ln x$ : continue sur $]0\,;+\infty[$ .
$x \mapsto \sin x, \cos x$ : continues sur $\mathbb{R}$ .

Combinaisons continues : somme, produit, quotient (là où le dénominateur ne s'annule pas) et composée de fonctions continues sont continues.

1.3 Lien avec la dérivabilité

Théorème : si $f$ est dérivable sur $I$ , alors $f$ est continue sur $I$ .

⚠ La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable en un point (ex : $x \mapsto |x|$ en $0$ ).

En pratique au bac : la plupart des fonctions étudiées sont dérivables, donc continues.

1.4 Théorème des valeurs intermédiaires (idée)

Si $f$ est continue sur $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ et si $k$ est entre $f({\color{#EE0000}{a}})$ et $f({\color{#0070C0}{b}})$ , alors l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ .

Interprétation graphique : la courbe de $f$ (continue) doit « traverser » la droite horizontale $y = k$ pour aller de $f({\color{#EE0000}{a}})$ à $f({\color{#0070C0}{b}})$ .

2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ .

Pour tout réel $k$ compris entre $f({\color{#EE0000}{a}})$ et $f({\color{#0070C0}{b}})$ , l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ .

T2 — Corollaire du TVI (« TVI strict » — théorème utilisé pour l'unicité)

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ .

Pour tout réel $k$ compris entre $f({\color{#EE0000}{a}})$ et $f({\color{#0070C0}{b}})$ , l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ .

📌 Ce corollaire est le plus utilisé au bac. Il combine existence (TVI) et unicité (stricte monotonie).

T3 — Extension du TVI aux intervalles ouverts / infinis

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $]\alpha\,;\beta[$ (avec $\alpha, \beta$ éventuellement infinis) et si $k$ est compris entre $\lim\limits_{x \to \alpha} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to \beta} f(x)$ , alors $f(x) = k$ admet une unique solution dans $]\alpha\,;\beta[$ .

Cas fréquent au bac : intervalle $[{\color{#EE0000}{a}}\,;+\infty[$ avec $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = L$ et $k$ entre $f({\color{#EE0000}{a}})$ et $L$ .

3. Méthodes types au bac

M1 — Démontrer que $f(x) = k$ admet une unique solution sur un intervalle

LA méthode canonique au bac. Type d'énoncé : « Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ . »

Rédaction canonique en 4 points (à respecter scrupuleusement) :

Continuité : $f$ est continue sur $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ (car dérivable, ou car somme/produit/composée de fonctions continues).

Stricte monotonie : d'après le tableau de variations (question précédente), $f$ est strictement croissante (ou décroissante) sur $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ .

Vérification que $k$ est entre $f({\color{#EE0000}{a}})$ et $f({\color{#0070C0}{b}})$ : calculer $f({\color{#EE0000}{a}})$ et $f({\color{#0070C0}{b}})$ , vérifier que $f({\color{#EE0000}{a}}) < k < f({\color{#0070C0}{b}})$ (ou l'inverse selon le sens).

Conclusion : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ .

Point-clé : les 4 hypothèses doivent être citées noir sur blanc — c'est la structure de rédaction attendue par les correcteurs. Passer directement à la conclusion sans vérifier chaque point fait perdre des points.

Exemple. Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . Montrons que $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $[0\,;1]$ .

$f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[0\,;1]$ .

$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$ , donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$ .

$f(0) = -1$ et $f(1) = 1$ . Or $0 \in [-1\,;1]$ .

D'après le corollaire du TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$ .

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2021 à 2024 (toutes sessions), Polynésie 2022 à 2024, Amérique du Nord 2023, 2024, Asie 2023, 2024, Centres Étrangers 2022, 2024.

M2 — Encadrer la solution $\alpha$ par balayage (calculatrice)

Après M1, question suivante classique : « Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. »

Démarche. À la calculatrice, on balaie : on cherche deux valeurs consécutives $x_1 = k \times 0{,}01$ et $x_2 = (k+1) \times 0{,}01$ telles que $f(x_1)$ et $f(x_2)$ soient de signes contraires (pour l'équation $f(x) = 0$ ).

Rédaction. « À l'aide de la calculatrice, on trouve $f(0{,}68) < 0$ et $f(0{,}69) > 0$ . Comme $f$ est continue et strictement croissante, on a $0{,}68 < \alpha < 0{,}69$ . »

Où c'est tombé : presque toujours en suite de M1. Métropole 2022, 2023, 2024.

M3 — Utiliser la continuité pour le passage à la limite (point fixe)

Contexte : dans un exercice sur une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ qui converge vers $\ell$ , on justifie $\ell = f(\ell)$ par la continuité de $f$ en $\ell$ .

Rédaction canonique.

La fonction $f$ est continue sur son intervalle de définition (car dérivable, ou car composée de fonctions continues), donc en particulier en $\ell$ . Par passage à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ , on obtient $\ell = f(\ell)$ .

Voir aussi fiche Suites définies par une fonction, méthode M6.

Où c'est tombé : systématique dans les exercices point fixe.

M4 — Écrire un algorithme de dichotomie (question Python fréquente)

Contexte : l'énoncé demande de compléter un algorithme qui approche $\alpha$ (solution unique de $f(x) = 0$ ) par dichotomie.

Principe. On part de $[{\color{#EE0000}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}]$ contenant $\alpha$ . À chaque étape, on regarde le signe de $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ et on divise l'intervalle par $2$ en conservant la moitié qui contient $\alpha$ .

Squelette Python :

def dichotomie(a, b, precision):
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(m) * f(a) < 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a, b)

Où c'est tombé : Métropole 2021, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

M5 — Justifier qu'une fonction est continue

Trois types d'arguments à utiliser au bac :

Fonction usuelle : « $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ » ou « $f$ est une fonction rationnelle, continue sur son ensemble de définition ».
Dérivabilité : « $f$ est dérivable sur $I$ , donc continue sur $I$ ».
Théorèmes d'opérations : « $f$ est somme (ou produit, quotient, composée) de fonctions continues sur $I$ , donc continue sur $I$ ».

4. Analyse fréquentielle

Le corollaire du TVI (M1) est demandé dans environ 60 % des exercices d'analyse au bac — souvent en question intermédiaire d'un exercice d'étude de fonction.
Structure canonique fréquente : étude de fonction (variations, limites) → application du corollaire du TVI → encadrement de la solution (M2).
La question « démontrer que l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution » apparaît dans presque tous les sujets où figure une étude de fonction complète.
Question Python (dichotomie ou balayage) : fréquente en question annexe.
Justification de continuité (M3) : dans tous les exercices avec suite définie par une fonction et point fixe.
En QCM : peu fréquent en tant que tel, mais utilisé implicitement dans les questions demandant le nombre de solutions à une équation.

5. Erreurs fréquentes

Appliquer le TVI sans vérifier la continuité : perte de point automatique. La continuité doit être justifiée (« $f$ polynôme », « $f$ dérivable donc continue »...).
Utiliser le corollaire du TVI sans vérifier la stricte monotonie : sans elle, on n'a que l'existence, pas l'unicité.
Écrire « strictement monotone » sans dire dans quel sens : préciser « strictement croissante » ou « strictement décroissante ».
Confondre TVI (existence) et corollaire (existence + unicité) : ne pas conclure « unique solution » à partir du TVI seul.
Oublier de calculer $f(a)$ et $f(b)$ avant de conclure : la vérification que $k$ est bien entre les deux est indispensable.
Ne pas préciser l'intervalle dans la conclusion : « une unique solution » sans dire « dans $[a\,;b]$ » est incomplet.
Utiliser le TVI sur un intervalle où $f$ n'est pas continue (fonction avec asymptote verticale, par ex.) : bien découper en sous-intervalles.
Confondre continuité et dérivabilité : $f$ dérivable ⇒ $f$ continue, mais pas la réciproque.
Oublier la continuité de $f$ au moment du passage à la limite dans une suite définie par récurrence (perte de point systématique).
Balayer avec un pas trop grand ( $10^{-1}$ au lieu de $10^{-2}$ ) : ne fournit pas la précision demandée.

6. Formulaire à retenir

Objet	Règle
Fonction continue	Trace sans lever le crayon (intuition) ; $\lim_{x \to a} f = f(a)$ (formel)
Fonctions usuelles	Toutes continues sur leur ensemble de définition
Continuité et dérivabilité	Dérivable ⇒ continue (réciproque fausse)
TVI	$f$ continue sur $[a\,;b]$ et $k$ entre $f(a), f(b)$ ⇒ au moins une solution
Corollaire du TVI	+ strictement monotone ⇒ unique solution
Rédaction canonique (4 points)	Continuité · Stricte monotonie · $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ · Conclusion
Justification continuité	Fonction usuelle, ou dérivable, ou combinaison de continues

7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Corollaire du TVI — question quasi systématique dans les exercices d'étude de fonction :

Métropole — 2021 J1 ex. 4 · 2021 J1 ex. 5 · 2021 J2 ex. 2 · 2021 J2 ex. 3 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 5 · 2021 J2 ex. 5 · 2022 J1 ex. 1 · 2022 J1 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4 · 2023 J1 ex. 2 · 2023 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 4
Polynésie — 2022 J2 ex. 1 · 2023 J1 ex. 2 · 2024 J1 ex. 2
Amérique du Nord — 2023 J2 ex. 4
Amérique du Sud — 2023 J1 ex. 1 · 2023 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1
Asie — 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 2
Centres Étrangers — 2024 J2 ex. 2
Nouvelle-Calédonie — 2023 J1 ex. 4

Dichotomie en Python (M4) :

Métropole — 2021 J1 ex. 4 · 2021 J1 ex. 5 · 2021 J2 ex. 2 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 4 · 2021 J2 ex. 5 · 2021 J2 ex. 5
Polynésie — 2023 J1 ex. 4

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Continuité et TVI

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1. Notions clés

1.1 Fonction continue

1.2 Continuité des fonctions usuelles

1.3 Lien avec la dérivabilité

1.4 Théorème des valeurs intermédiaires (idée)

2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

T2 — Corollaire du TVI (« TVI strict » — théorème utilisé pour l'unicité)

T3 — Extension du TVI aux intervalles ouverts / infinis

3. Méthodes types au bac

M1 — Démontrer que $f(x) = k$ admet une unique solution sur un intervalle

M2 — Encadrer la solution $\alpha$ par balayage (calculatrice)

M3 — Utiliser la continuité pour le passage à la limite (point fixe)

M4 — Écrire un algorithme de dichotomie (question Python fréquente)

M5 — Justifier qu'une fonction est continue

4. Analyse fréquentielle

5. Erreurs fréquentes

6. Formulaire à retenir

7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

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1. Notions clés

1.1 Fonction continue

1.2 Continuité des fonctions usuelles

1.3 Lien avec la dérivabilité

1.4 Théorème des valeurs intermédiaires (idée)

2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

T2 — Corollaire du TVI (« TVI strict » — théorème utilisé pour l'unicité)

T3 — Extension du TVI aux intervalles ouverts / infinis

3. Méthodes types au bac

M1 — Démontrer que f(x)=kf(x) = kf(x)=k admet une unique solution sur un intervalle

M2 — Encadrer la solution α\alphaα par balayage (calculatrice)

M3 — Utiliser la continuité pour le passage à la limite (point fixe)

M4 — Écrire un algorithme de dichotomie (question Python fréquente)

M5 — Justifier qu'une fonction est continue

4. Analyse fréquentielle

5. Erreurs fréquentes

6. Formulaire à retenir

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M2 — Encadrer la solution $\alpha$ par balayage (calculatrice)